Задача №2020
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+2^x\right)\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}\).
Решение
\[
\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+2^x\right)\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)
=\lim_{x\to+\infty}\ln\left(2^x\cdot\left(1+\frac{1}{2^x}\right)\right)\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(x\ln{2}+\ln\left(1+\frac{1}{2^x}\right) \right)\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)
=\lim_{x\to+\infty}\left(x\ln{2}\cdot\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{2^x}\right)\cdot\ln\left(1+\frac{3}{x}\right) \right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(3\ln{2}\cdot\frac{\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{3}{x}}+\ln\left(1+\frac{1}{2^x}\right)\cdot\ln\left(1+\frac{3}{x}\right) \right)
=3\ln{2}+0\cdot{0}
=3\ln{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{3\ln{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №562 |