Задача №2019
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+2^x\right)}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+2^x\right)}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(3^x\cdot\left(1+3^{-x}\right)\right)}{\ln\left(2^x\cdot\left(1+2^{-x}\right)\right)}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\ln{3}+\ln\left(1+3^{-x}\right)}{x\ln{2}+\ln\left(1+2^{-x}\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln{3}+\frac{\ln\left(1+3^{-x}\right)}{x}}{\ln{2}+\frac{\ln\left(1+2^{-x}\right)}{x}}
=\frac{\ln{3}}{\ln{2}}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\ln{3}}{\ln{2}}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №561 | |
| Пункт №2 |