Задача №2017
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(x+e^x\right)^{\frac{1}{x}}}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{x+e^x-1}{x}
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{e^x-1}{x}\right)
=1+1
=2.
\]
\[
\lim_{x\to{0}}\left(x+e^x\right)^{\frac{1}{x}}
=\lim_{x\to{0}}\left(1+x+e^x-1\right)^{\frac{1}{x}}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+x+e^x-1\right)^{\frac{1}{x+e^x-1}}\right)^{\frac{x+e^x-1}{x}}
=e^2.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{e^2}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №544 |