Задача №2015
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(2+e^{3x}\right)}{\ln\left(3+e^{2x}\right)}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(2+e^{3x}\right)}{\ln\left(3+e^{2x}\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^{3x}\left(1+\frac{2}{e^{3x}}\right)\right)}{\ln\left(e^{2x}\left(1+\frac{3}{e^{2x}}\right)\right)}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+\ln\left(1+\frac{2}{e^{3x}}\right)}{2x+\ln\left(1+\frac{3}{e^{2x}}\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{3+\frac{1}{x}\cdot\ln\left(1+\frac{2}{e^{3x}}\right)}{2+\frac{1}{x}\cdot\ln\left(1+\frac{3}{e^{2x}}\right)}
=\frac{3}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №535 |