Задача №2013
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin{x}\right)^{\tg{x}}}\).
Решение
Предварительно найдём один предел, чтобы не загромождать дальнейшие вычисления:
\[
\lim_{t\to{0}}\frac{(1-\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}}
=\lim_{t\to{0}}\frac{(1-\cos{t})(1+\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}(1+\cos{t})}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2{t}\cos{t}}{\sin{t}(1+\cos{t})}
=0.
\]
Возращаясь к заданному пределу, и осуществляя в нём замену переменной \(\displaystyle{t=x-\frac{\pi}{2}}\), будем иметь:
\[
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin{x}\right)^{\tg{x}}
=\lim_{t\to{0}}\left(\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\right)^{\tg\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}
=\lim_{t\to{0}}(\cos{t})^{-\ctg{t}}=\\
=\lim_{t\to{0}}(1+\cos{t}-1)^{-\frac{\cos{t}}{\sin{t}}}
=\lim_{t\to{0}}\left((1+\cos{t}-1)^{\frac{1}{\cos{t}-1}}\right)^{\frac{(1-\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}}}
=e^0
=1.
\]
Эту же задачу можно решить, используя эквивалентности:
\[
\lim_{t\to{0}}(\cos{t})^{-\ctg{t}}
=\lim_{t\to{0}}e^{-\ctg{t}\ln\cos{t}}
=\lim_{t\to{0}}e^{-\frac{\ln\left(1+(\cos{t}-1)\right)}{\tg{t}}}
=\lim_{t\to{0}}e^{\frac{1-\cos{t}}{t}}
=\lim_{t\to{0}}e^{\frac{\frac{t^2}{2}}{t}}
=e^0
=1
\]
Ответ:
1Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №523 |