Задача №2010
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin^3{x}}}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin^3{x}}}
=\left[1^{\infty}\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}-1\right)^{\frac{1}{\sin^3{x}}}
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin^3{x}}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1+\sin{x}}{\tg{x}-\sin{x}}\cdot\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}\cdot\left(1+\sin{x}\right)}}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1+\sin{x}}{\tg{x}-\sin{x}}}\right)^{\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}}
=e^{\frac{1}{2}}
=\sqrt{e}.
\]
В данном примере был использован предел из задачи 1991.
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{e}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №519 | |
| Пункт №2 |