Задача №2005
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\left(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}\right)}\).
Решение
\[
\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}
=2\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}.
\]
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=0.
\]
Так как при \(\displaystyle{x\to+\infty}\) имеем \(\displaystyle{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\to{0}}\), то функция \(\displaystyle{\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}}\) – бесконечно малая. Так как функция \(\displaystyle{\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}}\) является ограниченной, то функция \(\displaystyle{\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}}\) – бесконечно малая.
Ответ:
0Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №505 |