Задача №2000
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+\tg{x}}-\sqrt{1+\sin{x}}}{x^3}}\).
Решение
Здесь будет нужен предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}=\frac{1}{2}}\), рассмотренный в задаче 1118.
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+\tg{x}}-\sqrt{1+\sin{x}}}{x^3}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+\tg{x}}-\sqrt{1+\sin{x}}\right)\cdot\left(\sqrt{1+\tg{x}}+\sqrt{1+\sin{x}}\right)}{x^3\cdot\left(\sqrt{1+\tg{x}}+\sqrt{1+\sin{x}}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tg{x}}+\sqrt{1+\sin{x}}}\right)
=\frac{1}{4}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{4}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №499 |