Задача №1999
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1-\ctg^3{x}}{2-\ctg{x}-\ctg^3{x}}}\).
Решение
Замена \(\displaystyle{t=\ctg{x}}\):
\[
\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1-\ctg^3{x}}{2-\ctg{x}-\ctg^3{x}}
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^3-1}{t^3+t-2}
=\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)\left(t^2+t+1\right)}{(t-1)\left(t^2+t+2\right)}
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^2+t+1}{t^2+t+2}
=\frac{3}{4}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3}{4}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №498 |