Задача №1984

Условие

Найти постоянные \(\displaystyle{a_i}\) и \(\displaystyle{b_i}\) (\(\displaystyle{i=1,2}\)) из условий: \(\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_1x-b_1\right)=0}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_2x-b_2\right)=0}\).

Решение

Если \(\displaystyle{a_1\ge{0}}\) или \(\displaystyle{a_2\le{0}}\), то соответствующие пределы равны \(\displaystyle{\infty}\), поэтому все дальнейшие рассуждения ведём при условиях \(\displaystyle{a_1\lt{0}}\), \(\displaystyle{a_2\gt{0}}\). Сделаем одно вспомогательное преобразование:

\[ \sqrt{x^2-x+1}-a_ix-b_i=\frac{\left(\sqrt{x^2-x+1}-\left(a_ix+b_i\right)\right)\cdot\left(\sqrt{x^2-x+1}+\left(a_ix+b_i\right)\right)}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i}=\\ =\frac{\left(1-a_{i}^{2}\right)x^2+\left(-1-2a_ib_i\right)x+1-b_{i}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i} \]

Если коэффициент перед \(\displaystyle{x^2}\) не равен нулю, т.е. \(\displaystyle{1-a_{i}^{2}\neq{0}}\), то:

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{\left(1-a_{i}^{2}\right)x^2+\left(-1-2a_ib_i\right)x+1-b_{i}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-a_{i}^{2}+\frac{-1-2a_ib_i}{x}+\frac{1-b_{i}^{2}}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x^2}+\frac{a_i}{x}+\frac{b_i}{x^2}}=\infty \]

Таким образом, равенства, указанные в условии задачи, возможны лишь при \(\displaystyle{1-a_{i}^{2}=0}\), откуда (с учётом условий \(\displaystyle{a_1\lt{0}}\), \(\displaystyle{a_2\gt{0}}\)) получим: \(\displaystyle{a_1=-1}\), \(\displaystyle{a_2=1}\). Первый предел при условии \(\displaystyle{a_1=-1}\) примет вид:

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_1x-b_1\right) =\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(-1+2b_1\right)x+1-b_{1}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}-x+b_1}=\\ =\lim_{x\to-\infty}\frac{-1+2b_1+\frac{1-b_{1}^{2}}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}-1+\frac{b_1}{x}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{-1+2b_1+\frac{1-b_{1}^{2}}{x}}{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1+\frac{b_1}{x}} =\frac{-2b_1+1}{2}. \]

Согласно условию, \(\displaystyle{\frac{-2b_1+1}{2}=0}\), поэтому \(\displaystyle{b_1=\frac{1}{2}}\). Обратимся к второму пределу. При условии \(\displaystyle{a_2=1}\) имеем:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_2x-b_2\right) =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(-1-2b_2\right)x+1-b_{2}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+x+b_2}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-1-2b_2+\frac{1-b_{2}^{2}}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}+1+\frac{b_2}{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{-1-2b_2+\frac{1-b_{2}^{2}}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1+\frac{b_2}{x}} =\frac{-2b_1-1}{2}. \]

Согласно условию, \(\displaystyle{\frac{-2b_2-1}{2}=0}\), поэтому \(\displaystyle{b_2=-\frac{1}{2}}\).

Ответ:

\(\displaystyle{a_1=-1}\), \(\displaystyle{b_1=\frac{1}{2}}\);
\(\displaystyle{a_2=1}\), \(\displaystyle{b_2=-\frac{1}{2}}\).

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №5	Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу"
Раздел №1	Введение в анализ
Задача №470