Задача №1983
Условие
Найти постоянные \(\displaystyle{a}\) и \(\displaystyle{b}\) из условия \(\displaystyle{\lim_{x\to{\infty}}\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=0}\).
Решение
\[
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{(1-a)x^2+(-a-b)x+b-1}{x+1}
\]
Предел отношения многочленов при \(\displaystyle{x\to\infty}\) равен нулю. Это означает, что степень числителя меньше степени знаменателя. Следовательно:
\[
\left\{\begin{aligned}
& 1-a=0;\\
& -a-b=0.
\end{aligned}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
& a=1;\\
& b=-1.
\end{aligned}\right.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{a=1}\), \(\displaystyle{b=-1}\).Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №469 |