Задача №1982
Условие
Изучить поведение корней \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\) квадратного уравнения \(\displaystyle{ax^2+bx+c=0}\), у которого коэффициент \(\displaystyle{a}\) стремится к нулю, а коэффициенты \(\displaystyle{b}\) и \(\displaystyle{c}\) постоянны, причём \(\displaystyle{b\neq{0}}\).
Решение
Корни квадратного уравнения таковы:
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\;x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
\]
Пусть, для определённости, \(\displaystyle{b\gt{0}}\). Тогда:
\[
\lim_{a\to{0}}x_1=\lim_{a\to{0}}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\infty;\\
\lim_{a\to{0}}x_2=\lim_{a\to{0}}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
=\lim_{a\to{0}}\frac{\left(\sqrt{b^2-4ac}-b\right)\left(\sqrt{b^2+4ac}+b\right)}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)}=\\
=\lim_{a\to{0}}\frac{b^2-4ac-b^2}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)}
=\lim_{a\to{0}}\frac{-2c}{\sqrt{b^2-4ac}+b}=\frac{-2c}{2b}=-\frac{c}{b}.
\]
Если же \(\displaystyle{b\lt{0}}\), то:
\[
\lim_{a\to{0}}x_1=\lim_{a\to{0}}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\lim_{a\to{0}}\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
=\lim_{a\to{0}}\frac{\left(|b|-\sqrt{b^2-4ac}\right)\left(|b|+\sqrt{b^2+4ac}\right)}{2a\left(|b|+\sqrt{b^2-4ac}\right)}=\\
=\lim_{a\to{0}}\frac{b^2-b^2+4ac}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)}
=\lim_{a\to{0}}\frac{2c}{|b|+\sqrt{b^2-4ac}}=\frac{2c}{2|b|}=\frac{c}{|b|}=-\frac{c}{b}.\\
\lim_{a\to{0}}x_2=\lim_{a\to{0}}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\infty.\\
\]
Ответ:
Один из корней стремится к бесконечности, второй стремится к \(\displaystyle{-\frac{c}{b}}\).
Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №468 |