Задача №1981

Условие

Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}}\), \(\displaystyle{n\in{N}}\).

Решение

Раскрываем скобки в числителе. Рассмотрим разность в общем виде, т.е. \(\displaystyle{(a+b)^n-(a-b)^n}\):

\[ (a+b)^n-(a-b)^n= a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^2+C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+\ldots+b^n-\\ -\left(a^n-C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^2-C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+\ldots+(-1)^nb^n\right) =2C_{n}^{1}a^{n-1}b+2C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+2C_{n}^{5}a^{n-5}b^5+\ldots \]

Окончание полученного разложения зависит от чётности степени. Если степень \(\displaystyle{n}\) чётная, то последним слагаемым в полученной сумме будет \(\displaystyle{2C_{n}^{n-1}ab^{n-1}=2nab^{n-1}}\). Если же \(\displaystyle{n}\) – нечётная степень, то последним слагаемым будет \(\displaystyle{2C_{n}^{n}b^n=2b^n}\). В нашем случае \(\displaystyle{a=\sqrt{1+x^2}}\), \(\displaystyle{b=x}\), поэтому:

\[ \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n=\\ =2C_{n}^{1}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+2C_{n}^{3}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-3}}x^3+2C_{n}^{5}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-5}}x^5+\ldots =2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+o(x). \]

Вернёмся к исходному пределу:

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x} =\left[\frac{0}{0}\right]=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+o(x)}{x} =\lim_{x\to{0}}\left(2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}+\frac{o(x)}{x}\right)=2n+0=2n. \]

Вообще, такие задачи нередко допускают немало вариантов решения. Например, можно представить выражение в таком виде, чтобы было удобно использовать эквивалентности или следствия из второго замечательного предела. Запишем пару вспомогательных пределов:

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x} =0 \]

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-1}{x} =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1+\left(\sqrt{1+x^2}+x-1\right)\right)^n-1}{x}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{n\left(\sqrt{1+x^2}+x-1\right)}{x} =\lim_{x\to{0}}\left(n + n\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right) =n \]

Разбивая исходный предел на два, получим:

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x} =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-1}{x} - \frac{\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n-1}{x} \right) =2n \]

Ответ:

\(\displaystyle{2n}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №5	Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу"
Раздел №1	Введение в анализ
Задача №467