Задача №1980
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}}\), где \(\displaystyle{n}\) – натуральное число.
Решение
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|
=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}+\frac{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n+\left(\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}{x\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right)^n+\left(1+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(\frac{1}{x\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right)^n+\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)^n\right)
=0^n+2^n=2^n.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2^n}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №466 |