Задача №1954
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left( \left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right) \right)}\).
Решение
\[
\frac{1}{n}\left( \left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right) \right)
=\frac{1}{n}\left(nx+\frac{a}{n}\cdot\left(1+2+\ldots+(n-1)\right)\right)
=x+a\cdot\frac{n-1}{2n}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left( \left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right) \right)
=\lim_{n\to\infty}\left(x+\frac{a}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)
=x+\frac{a}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{x+\frac{a}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №429 |