Задача №1948
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)\left(x^2+1\right)\cdot\ldots\cdot\left(x^n+1\right)}{\left((nx)^n+1\right)^{\frac{n+1}{2}}}}\).
Решение
Наибольшая степень \(\displaystyle{x}\) в числителе будет такой: \(\displaystyle{1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}}\). Разделив числитель и знаменатель на \(\displaystyle{x^{\frac{n(n+1)}{2}}}\), получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)\left(x^2+1\right)\cdot\ldots\cdot\left(x^n+1\right)}{\left((nx)^n+1\right)^{\frac{n+1}{2}}}
=\lim_{x\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{x^n}\right)}{\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}}
=n^{-\frac{n(n+1)}{2}}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{n^{-\frac{n(n+1)}{2}}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №417 |