Задача №1944
Условие
Исследовать функцию \(\displaystyle{u=x^2+xy+y^2-12x-3y}\) на экстремум.
Решение
\[u'_{x}=2x+y-12,\; u'_{y}=x+2y-3.\]
\[
\left\{\begin{aligned}
& 2x+y-12=0;\\
& x+2y-3=0.
\end{aligned}\right.
\]
Стационарная точка: \(\displaystyle{M(7;-2)}\).
\[u''_{xx}=2,\; u''_{xy}=1,\; u''_{yy}=2.\]
\[\Delta=u''_{xx}\cdot{u''_{yy}}-\left(u''_{xy}\right)^2=3\]
Так как \(\displaystyle{u''_{xx}\gt{0}}\) и \(\displaystyle{\Delta\gt{0}}\), то \(\displaystyle{M}\) – точка минимума.
\[u_{\min}=u(7;-2)=-39\]
Ответ:
\(\displaystyle{u_{\min}=u(7;-2)=-39}\).Источники задачи
| Задачник №4 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №3) |
| Параграф №5 | Экстремумы функций |
| Задача №1 | |
| Пункт №1 |