Задача №1943

Решение

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left|\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)\right|}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}}\). Так как \(\displaystyle{\left|\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)\right|\le{1}}\), то получим:

Так как степень \(\displaystyle{\frac{4}{3}\gt{1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}\) сходится, поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left|\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)\right|}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}}\). Это значит, что ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}}\) сходится абсолютно.