Задача №1942
Условие
Найти n-ю частичную сумму \(\displaystyle{S_n}\) ряда и сумму \(\displaystyle{S}\) этого ряда:
\(\displaystyle{\frac{1}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}+\ldots+\frac{1}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)(a+n+3)}+\ldots}\)Решение
Тут выгодно представить общий член ряда \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}}\) в виде \(\displaystyle{u_n=b_{n+1}-b_n}\). Выражение для \(\displaystyle{b_n}\) будем искать в такой форме: \(\displaystyle{b_n=\frac{c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}}\). В этом случае \(\displaystyle{b_{n+1}=\frac{c}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}}\).
\[
b_{n+1}-b_n
=\frac{c}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}-\frac{c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}=\\
=\frac{-3c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}
\]
Так как \(\displaystyle{u_n=b_{n+1}-b_n}\), то \(\displaystyle{-3c=1}\), откуда \(\displaystyle{c=-\frac{1}{3}}\). Итак, \(\displaystyle{b_n=-\frac{1}{3(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}}\). Согласно свойству, упомянутому в текущем параграфе №13, получим:
\[
\begin{aligned}
& S_n=b_{n+1}-b_1=-\frac{1}{3(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}-\left(-\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}\right)=\\
& =\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}-\frac{1}{3(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}.\\
& S=0-b_1=\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}.
\end{aligned}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{S_n = \frac{1}{3a(a+1)(a+2)}-\frac{1}{3(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}}\), \(\displaystyle{S=\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}}\).Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №13 | Свойства сходящихся рядов |
| Задача №2 | |
| Пункт №5 |