Задача №1941
Условие
Найти n-ю частичную сумму \(\displaystyle{S_n}\) ряда и сумму \(\displaystyle{S}\) этого ряда:
\[\frac{1}{3\cdot{5}\cdot{7}}+\frac{1}{5\cdot{7}\cdot{9}}+\ldots+\frac{1}{(2n+1)\cdot(2n+3)\cdot(2n+5)}+\ldots\]
Решение
Процесс разложения общего члена ряда на элементарные дроби стандартный, поэтому сразу укажем результат:
\[
u_n=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2n+5}
\]
Запишем и упростим частичную сумму ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2k+5}\right)
=\frac{1}{8}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{8}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5}=\\
=\frac{1}{8}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right)-\frac{1}{4}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+5}\right)+\\
+\frac{1}{8}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)
=\frac{1}{60}-\frac{1}{8(2n+3)}+\frac{1}{8(2n+5)}
\]
Сумма ряда такова:
\[
S
=\lim_{n\to\infty}S_n
=\frac{1}{60}.
\]
К слову, здесь можно было поступить и так:
\[
u_n
=\frac{1}{4}\cdot\frac{2n+5-(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}
=\frac{-1}{4(2n+3)(2n+5)}-\frac{-1}{4(2n+1)(2n+3)}
\]
Мы записали общий член в виде \(\displaystyle{u_n=b_{n+1}-b_n}\), где \(\displaystyle{b_n=\frac{-1}{4(2n+1)(2n+3)}}\). Для дальнейшего решения применяется свойство, сформулированное в текущем параграфе №13 (см. пункт №1 этой задачи).
Ответ:
\(\displaystyle{S_n=\frac{1}{60}-\frac{1}{8(2n+3)}+\frac{1}{8(2n+5)}}\), \(\displaystyle{S=\frac{1}{60}}\).Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №13 | Свойства сходящихся рядов |
| Задача №2 | |
| Пункт №4 |