Задача №1940
Условие
Найти n-ю частичную сумму \(\displaystyle{S_n}\) ряда и сумму \(\displaystyle{S}\) этого ряда:
\[\frac{1}{3\cdot{4}}+\frac{1}{4\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots\]
Решение
Разложим общий член ряда на элементарные дроби:
\[u_n=\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{n+3-(n+2)}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\]
В принципе, можем записать общий член вот так:
\[
u_n=\frac{-1}{n+3}-\frac{-1}{n+2}
\]
Обозначив \(\displaystyle{b_n=\frac{-1}{n+2}}\), получим, что \(\displaystyle{u_n=b_{n+1}-b_{n}}\), причём \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_n=0}\). Согласно свойству, упомянутому в текущем параграфе №13, получим:
\[
\begin{aligned}
& S_n=b_{n+1}-b_1=-\frac{1}{n+3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}.\\
& S=0-b_1=\frac{1}{3}.
\end{aligned}
\]
Это, конечно же, не единственный вариант решения. В следующих двух пунктах решение будет сделано по-иному.
Ответ:
\(\displaystyle{S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}}\), \(\displaystyle{S=\frac{1}{3}}\).Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №13 | Свойства сходящихся рядов |
| Задача №2 | |
| Пункт №1 |