Задача №1938
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}dx}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный интеграл:
\[
\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}
=\left[x=\frac{1}{z};\;dx=-\frac{dz}{z^2}\right]
=\int\frac{-dz}{z^2\cdot\left(\frac{1}{z^2}+1\right)\cdot\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}}=\\
=-\sgn{z}\int\frac{zdz}{\left(z^2+1\right)\sqrt{z^2+1}}
=-\frac{\sgn{z}}{2}\int\left(z^2+1\right)^{-\frac{3}{2}}d\left(z^2+1\right)
=\frac{\sgn{z}}{\sqrt{z^2+1}}+C
=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C.
\]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}dx
=\left[\begin{aligned}
& u=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right);\;du=\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}.\\
& dv=\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}};\;v=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
\end{aligned}\right]=\\
=\frac{x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}-\int\frac{xdx}{x^2+1}
=\frac{x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №5 | Интегрирование разных функций |
| Задача №159 |