Задача №1924

Решение

Первый способ

Функция \(\displaystyle{y=\ln{x}}\) непрерывна на отрезке \(\displaystyle{[y;x]}\); её производная \(\displaystyle{y'=\frac{1}{x}}\) существует в каждой точке интервала \(\displaystyle{(y;x)}\). Согласно теореме Лагранжа существует точка \(\displaystyle{c\in(y;x)}\) такая, что выполнено равенство \(\displaystyle{\ln{x}-\ln{y}=\frac{1}{c}\cdot(x-y)}\), т.е. \(\displaystyle{\frac{\ln\frac{x}{y}}{x-y}=\frac{1}{c}}\).

Так как \(\displaystyle{0\lt{y}\lt{c}\lt{x}}\), то \(\displaystyle{\frac{1}{x}\lt\frac{1}{c}\lt\frac{1}{y}}\). С учётом полученного выше равенства, имеем:

Второй способ

Обозначим \(\displaystyle{t=\frac{x}{y}}\), \(\displaystyle{t\gt{1}}\). Тогда заданное в условии неравенство примет такой вид:

Рассмотрим две функции: \(\displaystyle{f(t)=t-\ln{t}-1}\), \(\displaystyle{g(t)=\ln{t}+\frac{1}{t}-1}\). Отметим, что \(\displaystyle{g(1)=f(1)=0}\).

Так как при \(\displaystyle{t\gt{1}}\) имеем \(\displaystyle{f'(t)\gt{0}}\) и \(\displaystyle{g'(t)\gt{0}}\), то данные функции возрастают на \(\displaystyle{(1;+\infty)}\). С учётом \(\displaystyle{f'(1)=g'(1)=0}\) можно сделать вывод о возрастании рассматриваемых функций на \(\displaystyle{[1;+\infty)}\), что означает выполнение неравенств \(\displaystyle{f(t)\gt{f(1)}}\) и \(\displaystyle{g(t)\gt{g(1)}}\) при \(\displaystyle{t\gt{1}}\). Иными словами, при \(\displaystyle{t\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{f(t)\gt{0}}\) и \(\displaystyle{g(t)\gt{0}}\).

Исходя из доказанных неравенств получим:

Итак, неравенство \(\displaystyle{1-\frac{1}{t}\lt\ln{t}\lt{t-1}}\) доказано. Полагая \(\displaystyle{t=\frac{x}{y}}\), где \(\displaystyle{x\gt{y}\gt{0}}\) мы и приходим к неравенству \(\displaystyle{\frac{x-y}{x}\lt\ln\frac{x}{y}\le\frac{x-y}{y}}\), \(\displaystyle{x\gt{y}\gt{0}}\).