Задача №1922

Решение

Пусть \(\displaystyle{x'}\), \(\displaystyle{x''}\) – произвольные числа, принадлежащие множеству \(\displaystyle{X}\).

Неравенство \(\displaystyle{\left|f(x')-f(x'')\right|\lt\varepsilon}\) равносильно неравенству \(\displaystyle{\left|x'-x''\right|\lt\frac{\varepsilon}{2}}\). Таким образом, для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует \(\displaystyle{\delta=\frac{\varepsilon}{2}}\) такое, что для любых \(\displaystyle{x'\in{X}}\), \(\displaystyle{x''\in{X}}\), удовлетворяющих условию \(\displaystyle{\left|x'-x''\right|\lt\delta}\), верно неравенство \(\displaystyle{\left|f(x')-f(x'')\right|\lt\varepsilon}\). Это значит, что функция \(\displaystyle{f(x)=2x-1}\) равномерно непрерывна на \(\displaystyle{R}\).