Задача №1920
Условие
Доказать, что функция \(\displaystyle{y(x)}\) непрерывна в каждой точке своей области определения, если \(\displaystyle{y=2x-1}\).
Решение
Областью определения функции \(\displaystyle{y=2x-1}\) есть множество всех действительных чисел, т.е. \(\displaystyle{D(y)=R}\). В произвольной точке \(\displaystyle{x\in{R}}\) получим:
\[
\Delta{y}
=y(x+\Delta{x})-y(x)
=2\cdot(x+\Delta{x})-1-\left(2x-1\right)
=2\Delta{x}.
\]
Переходя к пределу, получим:
\[
\lim_{\Delta{x}\to{0}}\Delta{y}
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\left(2\Delta{x}\right)
=0.
\]
Следовательно, функция \(\displaystyle{y=2x-1}\) непрерывна при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\).
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №10 | Непрерывность функции |
| Задача №5 | |
| Пункт №1 |