Задача №1919
Условие
Найти предел функции: \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}\right)^{\frac{1}{x}}}\); \(\displaystyle{a\gt{0}}\); \(\displaystyle{b\gt{0}}\).
Решение
В решении будет использовано обозначение \(\displaystyle{t=\frac{a}{b}}\). И рассмотрим один вспомогательный предел, чтобы впоследствии не загромождать записи:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{t^{x+1}-t}{(t+1)x}
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{t}{t+1}\cdot\frac{t^x-1}{x}\right)
=\frac{t}{t+1}\ln{t}
=\frac{a}{a+b}\ln\frac{a}{b}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}\right)^{\frac{1}{x}}
=\left[1^{\infty}\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{b^{x+1}}{b}\right)^{\frac{1}{x}}\cdot\left(\frac{t^{x+1}+1}{t+1}\right)^{\frac{1}{x}}\right)=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(b\cdot\left(\left(1+\frac{t^{x+1}-t}{t+1}\right)^{\frac{t+1}{t^{x+1}-t}}\right)^{\frac{t^{x+1}-t}{(t+1)x}}\right)
=b\cdot{e^{\frac{a}{a+b}\ln\frac{a}{b}}}
=b\cdot\left(e^{\ln\frac{a}{b}}\right)^{\frac{a}{a+b}}
=b\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{a}{a+b}}
=a^{\frac{a}{a+b}}\cdot{b^{\frac{b}{a+b}}}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{a^{\frac{a}{a+b}}\cdot{b^{\frac{b}{a+b}}}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №38 | |
| Пункт №4 |