Задача №1917
Условие
Найти предел функции: \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}}}\); \(\displaystyle{a\gt{0}}\); \(\displaystyle{b\gt{0}}\); \(\displaystyle{a\neq{0}}\).
Решение
В решении будет использовано обозначение \(\displaystyle{t=\frac{a}{b}}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{b^{2x}\cdot\left(t^x-1\right)^2}{b^{x^2}\cdot\left(t^{x^2}-1\right)}
=\lim_{x\to{0}}\left( b^{2x-x^2}\cdot\frac{\left(\frac{t^x-1}{x}\right)^2}{\frac{t^{x^2}-1}{x^2}} \right)
=1\cdot\frac{\ln^2{t}}{\ln{t}}
=\ln\frac{a}{b}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\frac{a}{b}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №38 | |
| Пункт №2 |