Задача №1916
Условие
Найти предел функции: \(\displaystyle{\lim_{x\to{a}}\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}}\); \(\displaystyle{a\gt{0}}\).
Решение
Так как при \(\displaystyle{x\to{0}}\) имеем \(\displaystyle{a^x-x^a\to{0}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{a}}\left(a^{x^a}\cdot\frac{a^{a^x-x^a}-1}{a^x-x^a}\right)
=a^{a^a}\ln{a}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{a^{a^a}\ln{a}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №38 | |
| Пункт №1 |