Задача №1915
Условие
Найти предел функции \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-x^{k+1}+x^k-nx+n-1}{(x-1)^2}}\), \(\displaystyle{n\in{N}}\), \(\displaystyle{k\in{N}}\).
Решение
Сделаем замену переменной: \(\displaystyle{t=x-1}\), при этом \(\displaystyle{t\to{0}}\):
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-x^{k+1}+x^k-nx+n-1}{(x-1)^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^{n+1}-(1+t)^{k+1}+(1+t)^k-n(1+t)+n-1}{t^2}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{1+(n+1)t+\frac{n(n+1)}{2}t^2+o\left(t^2\right)-\left(1+(k+1)t+\frac{k(k+1)}{2}t^2+o\left(t^2\right)\right)+1+kt+\frac{k(k-1)}{2}t^2+o\left(t^2\right)-nt-1}{t^2}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{n^2+n-2k}{2}\cdot{t^2}+o\left(t^2\right)}{t^2}
=\frac{n^2+n-2k}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{n^2+n-2k}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №24 | |
| Пункт №2 |