Задача №1914
Условие
Доказать, что \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)}\) не существует, если \(\displaystyle{f(x)=x-E(x)}\).
Решение
Рассмотрим две последовательности: \(\displaystyle{x_n=n}\) и \(\displaystyle{y_n=n+\frac{1}{2}}\). При \(\displaystyle{n\to\infty}\) имеем \(\displaystyle{x_n\to+\infty}\) и \(\displaystyle{y_n\to+\infty}\).
\[
\begin{aligned}
&\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(n-E(n)\right)
=\lim_{n\to\infty}(n-n)
=\lim_{n\to\infty}{0}
=0.\\
&\lim_{n\to\infty}f\left(y_n\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(n+\frac{1}{2}-E\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(n+\frac{1}{2}-n\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}
=\frac{1}{2}.
\end{aligned}
\]
Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)\neq\lim_{n\to\infty}f\left(y_n\right)}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)}\) не существует.
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №8 | |
| Пункт №2 |