Задача №1913
Условие
Доказать, что \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)}\) не существует, если \(\displaystyle{f(x)=\cos{x}}\).
Решение
Рассмотрим две последовательности: \(\displaystyle{x_n=2\pi{n}}\) и \(\displaystyle{y_n=\frac{\pi}{2}+\pi{n}}\). При \(\displaystyle{n\to\infty}\) имеем \(\displaystyle{x_n\to+\infty}\) и \(\displaystyle{y_n\to+\infty}\).
\[
\begin{aligned}
& \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)
=\lim_{n\to\infty}\cos\left(2\pi{n}\right)
=1.\\
& \lim_{n\to\infty}f\left(y_n\right)
=\lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac{\pi}{2}+\pi{n}\right)
=0.
\end{aligned}
\]
Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)\neq\lim_{n\to\infty}f\left(y_n\right)}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)}\) не существует.
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №8 | |
| Пункт №1 |