Задача №1912
Условие
Для каждого числа \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) найти такое число \(\displaystyle{\delta\gt{0}}\), при котором из неравенств \(\displaystyle{0\lt|x-1|\lt\delta}\) следует неравенство \(\displaystyle{\left|\frac{3x^2-4x+1}{x-1}-2\right|\lt\varepsilon}\).
Решение
Обозначим \(\displaystyle{f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{x-1}}\). Из условия \(\displaystyle{0\lt|x-1|\lt\delta}\) имеем \(\displaystyle{x\neq{1}}\).
Таким образом, неравенство \(\displaystyle{|f(x)-2|\lt\varepsilon}\) равносильно неравенству \(\displaystyle{|x-1|\lt\frac{\varepsilon}{3}}\). Значит, чтобы из неравенств \(\displaystyle{0\lt|x-1|\lt\delta}\) следовало неравенство \(\displaystyle{|f(x)-2|\lt\varepsilon}\), нужно, чтобы значение \(\displaystyle{\delta}\) не превосходило \(\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\), т.е. \(\displaystyle{\delta\le\frac{\varepsilon}{3}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\delta\le\frac{\varepsilon}{3}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №3 |