Задача №1911

Решение

Нужно доказать, что для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует такой номер \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\), что при всех \(\displaystyle{n\ge{n_{\varepsilon}}}\) выполняется неравенство \(\displaystyle{\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon}\). Здесь \(\displaystyle{x_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}}\). Рассмотрим модуль разности \(\displaystyle{\left|x_n-1\right|}\):

Таким образом, если \(\displaystyle{\varepsilon\gt\frac{1}{2n}}\), то неравенство \(\displaystyle{\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon}\) будет выполнено. Из неравенства \(\displaystyle{\varepsilon\gt\frac{1}{2n}}\) имеем \(\displaystyle{n\gt\frac{1}{2\varepsilon}}\). Так как \(\displaystyle{\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1\gt\frac{1}{2\varepsilon}}\), то неравенство \(\displaystyle{\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon}\) будет выполнено и при \(\displaystyle{n\ge\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1}\).

Следовательно, для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует такой номер \(\displaystyle{n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1}\), что при всех \(\displaystyle{n\ge{n_{\varepsilon}}}\) выполняется неравенство \(\displaystyle{\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon}\). Это означает, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1}\).