Задача №1909
Условие
Найти остаток от деления многочлена \(\displaystyle{P(x)}\) на \(\displaystyle{(x+4)(x-5)}\), если остатки от деления этого многочлена на \(\displaystyle{x+4}\) и \(\displaystyle{x-5}\) равны соответственно 5 и 14.
Решение
Искомый остаток равен \(\displaystyle{r(x)=ax+b}\).
\[
P(x)=(x+4)(x-5)\cdot{Q(x)}+r(x)=(x+4)(x-5)\cdot{Q(x)}+ax+b.
\]
Подставляя в данное равенство \(\displaystyle{x=-4}\) и \(\displaystyle{x=5}\) и учитывая, что согласно условию \(\displaystyle{P(-4)=5}\), \(\displaystyle{P(5)=14}\), будем иметь:
\[
\left\{\begin{aligned}
& -4a+b=5;\\
& 5a+b=14.
\end{aligned}\right.
\]
Решив данную систему, получим значения: \(\displaystyle{a=1}\), \(\displaystyle{b=9}\). Таким образом, искомый остаток \(\displaystyle{r(x)=x+9}\).
Ответ:
\(\displaystyle{x+9}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №6 | Многочлены. Алгебраические уравнения. Рациональные дроби |
| Задача №2 |