Задача №1907
Условие
Доказать, что для любых чисел \(\displaystyle{a}\) и \(\displaystyle{b}\) справедливо равенство
\[a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k}\]
Решение
\[
(a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k}
=\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}=\\
=a^{2n+1}+\sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k+1}+b^{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}=\\
=a^{2n+1}+b^{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k+1}b^{k+1}a^{2n-k}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}=\\
=a^{2n+1}+b^{2n+1}-\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}b^{k+1}a^{2n-k}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}
=a^{2n+1}+b^{2n+1}.
\]
Ответ:
Равенство доказано
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №10 | |
| Пункт №2 |