Задача №1906
Условие
Доказать, что для любых чисел \(\displaystyle{a}\) и \(\displaystyle{b}\) справедливо равенство:
\[a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}.\]
Решение
\[
(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}
=\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n}b^{k+1}a^{n-k}=\\
=a^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}-b^{n+1}
=a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}
=a^{n+1}-b^{n+1}
\]
Ответ:
Равенство доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №10 | |
| Пункт №1 |