Задача №1901

Решение

Попытка раскрыть скобки и перенести все слагаемые в левую часть равенства приводит нас к такой гипотезе:

Впрочем, удобнее использовать более компактную запись:

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. Сперва проверим её при \(\displaystyle{n=3}\). Запишем обе части равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) при \(\displaystyle{n=3}\):

Как видим, при \(\displaystyle{n=3}\) равенство верно. Пусть равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) истинно при \(\displaystyle{n=k}\), т.е.

Докажем, что оно истинно и при \(\displaystyle{n=k+1}\).

Равенство доказано при \(\displaystyle{n=k+1}\). Если последнее равенство записанной выше цепочки вам кажется не очевидным, то его легко проверить, сделав переход от выражения в правой части к выражению в левой части равенства:

Итак, формула \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) истинна при \(\displaystyle{n\ge{3}}\). Таким образом, заданное по условию равенство можно записать так:

Теперь обратимся к последовательности \(\displaystyle{\left\{b_n\right\}}\) и докажем, что выполнение равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) является необходимым и достаточным условием того, что \(\displaystyle{\left\{b_n\right\}}\) – геометрическая прогрессия.

Сперва докажем необходимость. Покажем, что если \(\displaystyle{\left\{b_n\right\}}\) является геометрической прогрессией, то равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) истинно. Если \(\displaystyle{\left\{b_n\right\}}\) – геометрическая прогрессия, то \(\displaystyle{b_k=b_1q^{k-1}}\).

Необходимость доказана. Докажем теперь достаточность, т.е. что из выполнения равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) следует, что \(\displaystyle{\left\{b_n\right\}}\) – геометрическая прогрессия. Можно, конечно, эту достаточность показать умозрительными рассуждениями, но лучше подойти к вопросу формально. Докажем, что при любом \(\displaystyle{n\ge{3}}\) из выполнения равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) следует, что \(\displaystyle{\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q}\), \(\displaystyle{i=\overline{2;\;n}}\). Иными словами, что \(\displaystyle{\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_n}{b_{n-1}}=q}\). Напомню, что согласно условию, члены последовательности \(\displaystyle{\left\{b_n\right\}}\) отличны от нуля.

Для доказательства используем метод математической индукции. При \(\displaystyle{n=3}\) имеем:

Равенство \(\displaystyle{b_2^2=b_1b_3}\) говорит о том, что \(\displaystyle{b_1}\), \(\displaystyle{b_2}\) и \(\displaystyle{b_3}\) – члены геометрической прогрессии. Из данного равенства сразу следует вывод \(\displaystyle{\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=q}\).

Пусть при \(\displaystyle{n=k}\) из истинности равенства \(\displaystyle{\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0}\) следует \(\displaystyle{\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q}\), \(\displaystyle{i=\overline{2;\;k}}\). Докажем, что при \(\displaystyle{n=k+1}\) из выполнения равенства \(\displaystyle{\sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0}\) следует \(\displaystyle{\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q}\), \(\displaystyle{i=\overline{2;\;k+1}}\).

Из первого равенства системы согласно сделанному предположению имеем \(\displaystyle{\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_k}{b_{k-1}}=q}\). Из второго равенства системы имеем, что для всех \(\displaystyle{j}\) от 1 до \(\displaystyle{k-1}\) верно равенство:

Иными словами, это означает, что \(\displaystyle{\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_k}{b_{k-1}}=\frac{b_{k+1}}{b_k}=q}\), т.е. доказываемое утверждение истинно и при \(\displaystyle{n=k+1}\). Следовательно, при любом \(\displaystyle{n\ge{3}}\) из выполнения равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) следует, что последовательность \(\displaystyle{\left\{b_n\right\}}\) является геометрической прогрессией.