Задача №1894

Условие

Доказать, что если последовательность \(\displaystyle{\left\{a_n\right\}}\) является арифметической прогрессией, то при любом \(\displaystyle{n\ge{3}}\) и любом \(\displaystyle{k\in{N}}\) справедливо равенство

\[ \begin{equation} a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}+\ldots+(-1)^nC_{n}^{n}a_{n+1}^{k}=0 \label{eq:1} \end{equation} \]

Решение

Сразу отмечу, что условие сформулировано неточно. Например, при \(\displaystyle{n=2}\), \(\displaystyle{k=1}\) мы получим:

\[ a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k} =a_1-C_{2}^{1}a_2+C_{2}^{2}a_{3} =a_1-2a_2+a_3=a_1-a_2+a_3-a_2 =-d+d=0. \]

Здесь, равно как и в дальнейшем изложении, \(\displaystyle{d}\) – разность прогрессии \(\displaystyle{\left\{a_n\right\}}\). Как видите, пара чисел \(\displaystyle{n=2}\), \(\displaystyle{k=1}\) не удовлетворяет условиям задачи, однако же равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) для них выполнено. При этом, к примеру, числа \(\displaystyle{n=3}\), \(\displaystyle{k=4}\) удовлетворяют условиям задачи, однако же для равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) будем иметь:

\[ a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}-C_{n}^{3}a_{4}^{k} =a_{1}^{4}-C_{3}^{1}a_{2}^{4}+C_{3}^{2}a_{3}^{4}-C_{3}^{3}a_{4}^{4} =a_{1}^{4}-3a_{2}^{4}+3a_{3}^{4}-a_{4}^{4} \]

Рассматривая, к примеру, прогрессию \(\displaystyle{\left\{a_n\right\}}\), для которой \(\displaystyle{a_1=d=1}\), получим:

\[ a_{1}^{4}-3a_{2}^{4}+3a_{3}^{4}-a_{4}^{4} =1^{4}-3\cdot{2}^{4}+3\cdot{3}^{4}-{4}^{4} =-60\neq{0} \]

Как видите, равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) не выполнено. Следовательно, условие задачи является некорректным, поэтому будем решать её в изначальном предположении, что \(\displaystyle{n\in{N}}\). Остальные допущения, если они будут необходимы, сделаем по ходу решения. К слову, это ещё один камешек в огород авторов задачников, не размещающих в своих книгах решений.

Для начала поговорим насчёт степени \(\displaystyle{k}\). В принципе, равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) истинно и при \(\displaystyle{k=0}\) – при условии того, что \(\displaystyle{a_i\neq{0}}\), где \(\displaystyle{i=\overline{1;\,n+1}}\). Если же некоторый член прогрессии \(\displaystyle{a_i=0}\), то получим выражение \(\displaystyle{0^0}\), не имеющее смысла. Докажем истинность равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) при \(\displaystyle{k=0}\). Используем бином Ньютона:

\[ (a+b)^n=a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\ldots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^k+\ldots+C_{n}^{n}b^n \]

Подставляя \(\displaystyle{a=1}\), \(\displaystyle{b=-1}\), будем иметь:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}=0;\;n\ge{1}. \label{eq:2} \end{equation} \]

Формула \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) и есть частный случай равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) при \(\displaystyle{k=0}\). В дальнейшем примем \(\displaystyle{k\in{N}}\). Запишем левую часть равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) в ином виде, учитывая при этом равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\):

\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}a_{i+1}^{k} =\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\left(a_1+id\right)^{k} =\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\left(u_0+u_1i^1+u^2i^2+\ldots+u_ki^k\right)=\\ =u_0\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}+u_1\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i+u_2\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2+\ldots+u_k\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^k=\\ =u_1\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i+u_2\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2+\ldots+u_k\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^k \]

Полученное выражение состоит из слагаемых вида \(\displaystyle{u_p\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^p}\), где выражение \(\displaystyle{u_p}\) не зависит от \(\displaystyle{i}\). Рассмотрим суммы \(\displaystyle{\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^p}\). Если удастся доказать, что все суммы такого вида равны 0, то тем самым будет доказано равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\). Для начала упомяну простую формулу:

\[ \begin{equation} iC_{n}^{i}=nC_{n-1}^{i-1};\;n\ge{2};\;n\ge{i}. \label{eq:3} \end{equation} \]

С помощью данной формулы получим некоторые предварительные выводы.

\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i =\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i =\sum_{i=1}^{n}(-1)^inC_{n-1}^{i-1} =n\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n-1}^{i-1} =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i} =0. \]

Формула \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\), использованная тут, верна при \(\displaystyle{n\ge{1}}\). Следовательно, равенство \(\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}=0}\) истинно при \(\displaystyle{n-1\ge{1}}\), т.е. \(\displaystyle{n\ge{2}}\). Впрочем, это же условие можно получить и из того, что формула \(\displaystyle{\eqref{eq:3}}\) верна при \(\displaystyle{n\ge{2}}\). Итак,

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i=0;\;n\ge{2}. \label{eq:4} \end{equation} \]

Рассмотрим ещё парочку равенств, которые позволят сформулировать гипотезу и доказать её методом математической индукции.

\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2 =\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2 =\sum_{i=1}^{n}(-1)^inC_{n-1}^{i-1}i =n\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n-1}^{i-1}i=\\ =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}(i+1) =-n\cdot\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}i+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}\right) =0. \]

С учётом ограничений, которые имеются в формулах \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\), \(\displaystyle{\eqref{eq:3}}\), \(\displaystyle{\eqref{eq:4}}\), получим:

\[ \left\{\begin{aligned} & n\ge{2};\\ & n-1\ge{1};\\ & n-1\ge{2}.\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow {n}\ge{3}. \]

Таким образом, можем записать, что

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^2=0;\;n\ge{3}. \label{eq:5} \end{equation} \]

В принципе, идея, полагаю, ясна. Аналогичным образом можно получить формулу \(\displaystyle{\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^3=0}\), верную при \(\displaystyle{n\ge{4}}\). Механизм доказательства указанных выше формул приводит нас к такой гипотезе:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p=0;\;n\ge{p+1}. \label{eq:6} \end{equation} \]

Докажем эту гипотезу методом математической индукции по \(\displaystyle{p}\). При \(\displaystyle{p=1}\) формула \(\displaystyle{\eqref{eq:6}}\) верна – это было доказано ранее. Пусть истинны формулы \(\displaystyle{\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^t=0}\), \(\displaystyle{n\ge{t+1}}\) при любом \(\displaystyle{{1}\le{t}\lt{p}}\).

\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p =\sum_{i=1}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p =\sum_{i=1}^{n}(-1)^i nC_{n-1}^{i-1}i^{p-1}=\\ =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}(i+1)^{p-1} =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}\left(i^{p-1}+C_{p-1}^{1}i^{p-2}+C_{p-1}^{2}i^{p-3}+\ldots+1\right)=\\ =-n\cdot\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}i^{p-1}+C_{p-1}^{1}\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}i^{p-2}+\ldots+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}\right) =0. \]

\[ \left\{\begin{aligned} & n-1\ge{2};\\ & n-1\ge{3};\\ & \ldots\\ & n-1\ge{p}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow {n}\ge{p+1}. \]

Итак, формула \(\displaystyle{\eqref{eq:6}}\) доказана. Это автоматически доказывает равенство \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) при условии \(\displaystyle{n\ge{k+1}}\).

Ответ:

Равенство истинно при всех \(\displaystyle{k\in{N}}\), \(\displaystyle{n\ge{k+1}}\). Равенство также истинно и при \(\displaystyle{k=0}\), \(\displaystyle{n\in{N}}\) при том условии, что среди членов арифметической прогрессии не будет равных нулю.

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №2	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1)
Параграф №4	Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства
Задача №4