Задача №1893
Условие
Пусть \(\displaystyle{S_n}\) – сумма первых \(\displaystyle{n}\) членов арифметической прогрессии. Доказать, что:
\[S_{3n}=3\left(S_{2n}-S_n\right)\]
Решение
Пусть \(\displaystyle{d}\) – разность этой прогрессии.
\[
S_{3n}-3\cdot\left(S_{2n}-S_n\right)
=\frac{a_1+a_{3n}}{2}\cdot{3n}-3\cdot\left(\frac{a_1+a_{2n}}{2}\cdot{2n}-\frac{a_1+a_n}{2}\cdot{n}\right)=\\
=\frac{3n}{2}\cdot\left(a_1+a_{3n}-2a_1-2a_{2n}+a_1+a_n\right)
=\frac{3n}{2}\cdot\left(a_{3n}-2a_{2n}+a_n\right)=\\
=\frac{3n}{2}\cdot\left(a_1+d(3n-1)-2a_1-2d(2n-1)+a_1+d(n-1)\right)
=0.
\]
Так как \(\displaystyle{S_{3n}-3\cdot\left(S_{2n}-S_n\right)=0}\), то \(\displaystyle{S_{3n}=3\left(S_{2n}-S_n\right)}\).
В принципе, тут можно решить и по-иному: такие задачи имеют много способов решений. Выведем пару несложных формул:
\[
\begin{aligned}
& a_{n+i}=a_1+d(n+i-1)=a_1+d(i-1)+dn=a_i+dn\\
& a_{n+i}=a_1+d(n+i-1)=a_1+d(2n+i-1)-dn=a_{2n+i}-dn
\end{aligned}
\]
Применяя данные формулы, получим:
\[
3\left(S_{2n}-S_n\right)
=3\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}
=\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}=\\
=\sum_{i=1}^{n}\left(a_i+dn\right)+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}\left(a_{2n+i}-dn\right)
=\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{2n+i}
=S_{3n}.
\]
Ответ:
Равенство доказано
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №3 | |
| Пункт №2 |