Задача №1892
Условие
Пусть \(\displaystyle{S_n}\) – сумма первых \(\displaystyle{n}\) членов арифметической прогрессии. Доказать, что:
\[S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n\]
Решение
Так как \(\displaystyle{S_{n+2}=S_{n+3}-a_{n+3}}\), \(\displaystyle{S_{n+1}=S_{n+3}-a_{n+2}-a_{n+3}}\), \(\displaystyle{S_{n}=S_{n+3}-a_{n+1}-a_{n+2}-a_{n+3}}\) и \(\displaystyle{2a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n+3}}\), то получим:
\[
3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n
=3\left(S_{n+3}-a_{n+3}\right)-3\left(S_{n+3}-a_{n+2}-a_{n+3}\right)+S_{n+3}-a_{n+1}-a_{n+2}-a_{n+3}=\\
=S_{n+3}-a_{n+1}+2a_{n+2}-a_{n+3}
=S_{n+3}
\]
Ответ:
Равенство доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №3 | |
| Пункт №1 |