Задача №1890

Условие

Доказать, что если положительные числа \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\), \(\displaystyle{c}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа \(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}}\), \(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}}\), \(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\) также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение

Если положительные числа \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\), \(\displaystyle{c}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то существует такое число \(\displaystyle{d}\), что \(\displaystyle{b=a+d}\), \(\displaystyle{c=a+2d}\).

\[ \begin{aligned} & x_1=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{d};\\ & x_2=\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{c-a}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d};\\ & x_3=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{d}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} & x_2-x_1=\frac{2\sqrt{b}-\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d};\\ & x_3-x_2=\frac{2\sqrt{b}-\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d}. \end{aligned} \]

Выполнение равенства \(\displaystyle{x_2-x_1=x_3-x_2}\) говорит о том, что числа \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\), \(\displaystyle{x_3}\) будут последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ:

Утверждение доказано.

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №2	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1)
Параграф №4	Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства
Задача №1