Задача №1889

Решение

Сразу отмечу, что из условия \(\displaystyle{|b|\lt\frac{|a|}{2}}\) имеем \(\displaystyle{|a|\gt{0}}\). Докажем вспомогательное неравенство:

Так как \(\displaystyle{|x|\ge{x}}\), то \(\displaystyle{|ab|\ge{ab}}\), откуда \(\displaystyle{-2|ab|\le{-2ab}}\). С учётом \(\displaystyle{|a|^2=a^2}\) и \(\displaystyle{|b|^2=b^2}\) имеем:

Вспомогательное неравенство доказано. Вычитая \(\displaystyle{|a|}\) из обеих частей неравенства \(\displaystyle{|b|\lt\frac{|a|}{2}}\), получим:

Таким образом, с учётом доказанного выше вспомогательного неравенства, получим:

Выражения в левой и правой частях неравенства \(\displaystyle{|a-b|\gt\frac{|a|}{2}}\) строго положительны, поэтому из данного неравенства следует \(\displaystyle{\frac{1}{|a-b|}\lt\frac{2}{|a|}}\).

Сделаю небольшое примечание: в ходе решения использовалось простое свойство: если \(\displaystyle{x^2\ge{y^2}}\), то \(\displaystyle{|x|\ge|y|}\). Его несложно доказать, если учесть, что \(\displaystyle{\left(|x|-|y|\right)\cdot\left(|x|+|y|\right)=x^2-y^2}\). Из неравенства \(\displaystyle{x^2\ge{y^2}}\) имеем \(\displaystyle{x^2-y^2\ge{0}}\), поэтому \(\displaystyle{\left(|x|-|y|\right)\cdot\left(|x|+|y|\right)\ge{0}}\), откуда следует \(\displaystyle{|x|-|y|\ge{0}}\), т.е. \(\displaystyle{|x|\ge|y|}\).