Задача №1888

Решение

Доказательство иррациональности числа \(\displaystyle{\sqrt{2}}\) довольно банально – оно наличествует практически в любом курсе математического анализа. Можно посмотреть, например, книгу Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №1, параграф №1). Стандартное доказательство ведётся от противного: предполагаем, что \(\displaystyle{\sqrt{2}}\) – рационально, т.е. равно некоей дроби \(\displaystyle{\frac{m}{n}}\), где \(\displaystyle{m\in{Z}}\), \(\displaystyle{n\in{N}}\). При этом саму дробь \(\displaystyle{\frac{m}{n}}\) полагаем несократимой.

Исходя из равенства \(\displaystyle{\sqrt{2}=\frac{m}{n}}\) имеем \(\displaystyle{m^2=2n^2}\). Значит, число \(\displaystyle{m^2}\), а следовательно и само число \(\displaystyle{m}\), – чётное, т.е. \(\displaystyle{m=2k}\), где \(\displaystyle{k\in{Z}}\). Из равенств \(\displaystyle{m=2k}\) и \(\displaystyle{m^2=2n^2}\) имеем \(\displaystyle{n^2=2k^2}\), т.е. число \(\displaystyle{n}\) также чётное. Таким образом, дробь \(\displaystyle{\frac{m}{n}}\) сократима. Полученное противоречие говорит о том, что предположение о рациональности числа \(\displaystyle{\sqrt{2}}\) неверно.

Аналогично доказывается утверждение о иррациональности числа \(\displaystyle{\sqrt{3}}\). В процессе доказательства мы используем тот факт, что если число \(\displaystyle{m^2}\) делится на 3, то и само число \(\displaystyle{m}\) делится на 3. Это очевидное утверждение легко доказать формально: от противного. Пусть \(\displaystyle{m}\) не делится на 3, при этом число \(\displaystyle{m^2}\) кратно трём. Так как \(\displaystyle{m}\) не делится на 3, его можно представить в такой форме: \(\displaystyle{m=3t+r}\), где \(\displaystyle{r}\) принимает значение 1 или 2. Далее, из условия \(\displaystyle{m^2\vdots{3}}\) имеем \(\displaystyle{m^2=3k}\), откуда получим:

Левая часть полученного равенства не делится на 3, а правая часть – делится. Полученное противоречие говорит о том, что число \(\displaystyle{m}\) кратно трём.

Что же касается числа \(\displaystyle{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\), то его иррациональность вновь доказывается от противного: полагаем, что \(\displaystyle{\sqrt{2}+\sqrt{3}=a}\), где \(\displaystyle{a}\) – рациональное число. Далее, возводя обе части равенства в квадрат и преобразуя выражение, получим \(\displaystyle{\sqrt{6}=\frac{a^2-5}{2}}\). Так как число \(\displaystyle{\sqrt{6}}\) иррациональное, а число \(\displaystyle{\frac{a^2-5}{2}}\) является рациональным, то имеем противоречие. Вывод: число \(\displaystyle{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) – иррациональное.