Задача №1880
Условие
Найти подмножества \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) множества \(\displaystyle{U}\), если известно, что для любого множества \(\displaystyle{X\subset{U}}\) верно равенство \(\displaystyle{X\cap{A}=X\cup{B}}\).
Решение
Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому подставляя \(\displaystyle{X=\varnothing}\) в заданное равенство, получим:
\[\varnothing\cap{A}=\varnothing\cup{B};\;B=\varnothing.\]
Далее, любое множество является подмножеством самого себя, поэтому подставляя \(\displaystyle{X=U}\) будем иметь:
\[U\cap{A}=U\cup{B};\;A=U.\]
Проверим, действительно ли равенство \(\displaystyle{X\cap{A}=X\cup{B}}\) истинно при \(\displaystyle{A=U}\), \(\displaystyle{B=\varnothing}\):
\[
\begin{aligned}
& X\cap{A} = X\cap{U} = X;\\
& X\cup{B} = X\cup{\varnothing}=X.
\end{aligned}
\]
Равенство истинно.
Ответ:
\(\displaystyle{A=U}\), \(\displaystyle{B=\varnothing}\).
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №1 | Множества. Комбинаторика |
| Задача №10 |