Задача №1879

Решение

В ответе к данной задаче указано, что \(\displaystyle{X=B'}\), т.е. согласно ответу, равенство \(\displaystyle{(B'\cup{A})'\cup(B'\cup{A'})=B}\) будет истинным. Однако этот ответ некорректен, что легко показать, рассмотрев элемент \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Такой элемент \(\displaystyle{x\in{B'\cup{A'}}}\), т.е. \(\displaystyle{x\in(B'\cup{A})'\cup(B'\cup{A'})}\). Таким образом, элемент \(\displaystyle{x}\) принадлежит множеству в левой части равенства, однако не принадлежит множеству в правой части. Таким образом, в примере имеется ошибка.

Попробуем найти ответ для того условия, которое нам задано, не обращая внимания на ответ в задачнике. Упростим левую часть равенства:

Так как \(\displaystyle{X'\cap{A'}\subset{A'}}\), то \(\displaystyle{\left(X'\cap{A'}\right)\cup{A'}=A'}\), поэтому выражение \(\displaystyle{\eqref{(1)}}\) после упрощения примет такой вид: \(\displaystyle{A'\cup{X}}\). Итак, заданное в условии уравнение станет таким:

Из данного равенства сразу следует, что \(\displaystyle{A'\subset{B}}\) и \(\displaystyle{X\subset{B}}\). Далее, с помощью, например, диаграмм Эйлера, исходя из условий \(\displaystyle{A'\subset{B}}\) и \(\displaystyle{X\subset{B}}\) можно выдвинуть гипотезу о том, что \(\displaystyle{A\cap{B}\subset{X}}\). Строго доказать то, что из равенства \(\displaystyle{\eqref{(2)}}\) имеем \(\displaystyle{A\cap{B}\subset{X}}\) можно, например, методом от противного. Если предположить, что \(\displaystyle{A\cap{B}\not\subset{X}}\), то существует такой элемент \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\in{B}}\), что \(\displaystyle{x\notin{X}}\). Такой элемент будет входить в правую часть равенства \(\displaystyle{\eqref{(2)}}\), но не будет входить в левую его часть, т.е. равенство \(\displaystyle{\eqref{(2)}}\) будет нарушено. Это значит, что предположение \(\displaystyle{A\cap{B}\not\subset{X}}\) неверно, поэтому имеем \(\displaystyle{A\cap{B}\subset{X}}\).

Итак, из выполнения равенства \(\displaystyle{\eqref{(2)}}\) следует истинность таких условий:

Покажем, что условия \(\displaystyle{\eqref{(3)}}\) являются и достаточными, т.е. их выполнение влечёт за собой истинность равенства \(\displaystyle{\eqref{(2)}}\). Можно, в принципе, составить таблицу принадлежности и показать с её помощью, что равенство \(\displaystyle{\eqref{(2)}}\) выполнено на тех, и только тех наборах \(\displaystyle{\left(\chi_{A}(x);\chi_{B}(x);\chi_{X}(x)\right)}\), для которых истинны условия \(\displaystyle{\eqref{(3)}}\). Это, кстати, сразу было бы обоснованием и необходимости и достаточности. Однако пойдём более коротким стандартным путём: покажем, что если выполнены условия \(\displaystyle{\eqref{(3)}}\), то \(\displaystyle{X\cup{A'}\subset{B}}\) и \(\displaystyle{B\subset{X\cup{A'}}}\).

Пусть \(\displaystyle{\alpha\in{A'\cup{X}}}\), тогда \(\displaystyle{\alpha\in{A'}}\) или \(\displaystyle{\alpha\in{X}}\). Так как \(\displaystyle{X\subset{B}}\) и \(\displaystyle{A'\subset{B}}\), то \(\displaystyle{\alpha\in{B}}\), т.е. \(\displaystyle{A'\cup{X}\subset{B}}\).

Далее, пусть \(\displaystyle{\alpha\in{B}}\). Так как \(\displaystyle{A'\subset{B}}\), то \(\displaystyle{\alpha\in{A'}}\) или \(\displaystyle{\alpha\in{B\backslash{A'}}}\). Так как \(\displaystyle{B\backslash{A'}=A\cap{B}}\), то имеет два случая: \(\displaystyle{\alpha\in{A'}}\) или \(\displaystyle{\alpha\in{A\cap{B}}}\). Так как \(\displaystyle{A'\subset{B}}\), то любом из данных случаев имеем \(\displaystyle{x\in{B}}\), т.е. \(\displaystyle{B\subset{A'\cup{X}}}\).

Из вышеизложенного следует, что \(\displaystyle{A'\cup{X}=B}\).

Итак, доказано, что условия \(\displaystyle{X\subset{B}}\), \(\displaystyle{A\cap{B}\subset{X}}\), \(\displaystyle{A'\subset{B}}\) являются необходимыми и достаточными для выполнения равенства \(\displaystyle{A'\cup{X}=B}\). Т.е. решением исходного уравнения является любое множество \(\displaystyle{X}\), удовлетворяющее данным условиям. Иных решений уравнение не имеет.