Задача №1876

Решение

Данное равенство можно доказать несколькими путями.

Первый способ

Пусть \(\displaystyle{x\in(A\backslash{B})'}\). Тогда \(\displaystyle{x\notin{A\backslash{B}}}\).

Рассмотрим два случая: \(\displaystyle{x\in{B}}\) и \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Если \(\displaystyle{x\in{B}}\), то условие \(\displaystyle{x\notin{A\backslash{B}}}\) будет выполнено вне зависимости от того, принадлежит элемент \(\displaystyle{x}\) множеству \(\displaystyle{A}\) или нет. Если \(\displaystyle{x\notin{B}}\), то из двух вариантов (\(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\notin{A}}\)) условие \(\displaystyle{x\in(A\backslash{B})'}\) будет выполнено лишь в том случае, когда \(\displaystyle{x\notin{A}}\). Таким образом, если \(\displaystyle{x\in(A\backslash{B})'}\), то имеем два случая:

• \(\displaystyle{x\in{B}}\)
• \(\displaystyle{x\notin{B}}\), \(\displaystyle{x\notin{A}}\)

Как в первом, так и во втором случаях имеем \(\displaystyle{x\in{A'\cup{B}}}\), т.е. \(\displaystyle{(A\backslash{B})'\subset{A'\cup{B}}}\).

Если \(\displaystyle{x\in{A'\cup{B}}}\), то \(\displaystyle{x\in{A'}}\) (т.е. \(\displaystyle{x\notin{A}}\)) или \(\displaystyle{x\in{B}}\). Как в первом, так и во втором случае \(\displaystyle{x\in(A\backslash{B})'}\), т.е. \(\displaystyle{A'\cup{B}\subset(A\backslash{B})'}\).

Исходя из полученных результатов, имеем \(\displaystyle{(A\backslash{B})'=A'\cup{B}}\).

Второй способ

Применим таблицы принадлежности:

Совпадение последних двух столбцов говорит о том, что \(\displaystyle{(A\backslash{B})'=A'\cup{B}}\).

Третий способ

Применим характеристические функции.

Следовательно, \(\displaystyle{\chi_{(A\backslash{B})'}(x)=\chi_{A'\cup{B}}(x)}\), т.е. равенство \(\displaystyle{(A\backslash{B})'=A'\cup{B}}\) верно.