Задача №1875
Условие
Определить, в каком отношении (\(\displaystyle{X\subset{Y}}\), \(\displaystyle{Y\subset{X}}\), \(\displaystyle{X=Y}\)) находятся множества \(\displaystyle{X}\) и \(\displaystyle{Y}\), если \(\displaystyle{X=A\backslash(B\cup{C})}\), \(\displaystyle{Y=(A\backslash{B})\cup(A\backslash{C})}\).
Решение
Решим эту задачу с использованием таблиц принадлежности.
| \(\displaystyle{\chi_{A}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{B}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{C}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{X}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{Y}(y)}\) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Как видим из таблицы, есть наборы значений \(\displaystyle{\left(\chi_{A}(x),\chi_{B}(x),\chi_{C}(x)\right)}\), на которых имеем \(\displaystyle{\chi_{X}(x)\neq\chi_{Y}(x)}\), т.е. \(\displaystyle{X\neq{Y}}\). При этом на всех наборах \(\displaystyle{\left(\chi_{A}(x),\chi_{B}(x),\chi_{C}(x)\right)}\) если \(\displaystyle{\chi_{X}(x)=1}\), то \(\displaystyle{\chi_{Y}(x)=1}\). Иными словами, если некий элемент \(\displaystyle{x\in{X}}\), то этот же элемент \(\displaystyle{x\in{Y}}\). Это означает, что \(\displaystyle{X\subset{Y}}\), причём \(\displaystyle{X\neq{Y}}\). Иными словами, \(\displaystyle{X}\) – собственное подмножество множества \(\displaystyle{Y}\).
Ответ:
\(\displaystyle{X\subset{Y}}\), \(\displaystyle{X\neq{Y}}\).
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №1 | Множества. Комбинаторика |
| Задача №7 | |
| Пункт №3 |