Задача №1874
Условие
Определить, в каком отношении (\(\displaystyle{X\subset{Y}}\), \(\displaystyle{Y\subset{X}}\), \(\displaystyle{X=Y}\)) находятся множества \(\displaystyle{X}\) и \(\displaystyle{Y}\), если: \(\displaystyle{X=(A\cap{B})\backslash{C}}\), \(\displaystyle{Y=(A\backslash{C})\cap(B\backslash{C})}\).
Решение
Решим эту задачу с использованием таблиц принадлежности.
| \(\displaystyle{\chi_{A}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{B}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{C}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{X}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{Y}(y)}\) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Совпадение соответствующих столбцов говорит о том, что \(\displaystyle{X=Y}\).
Впрочем, здесь есть нюанс, ведь утверждения \(\displaystyle{X\subset{Y}}\) и \(\displaystyle{Y\subset{X}}\) также будут истинными. Поэтому отвечая на вопрос задачи можно сказать, что множества \(\displaystyle{X}\) и \(\displaystyle{Y}\) находятся в трёх отношениях сразу, т.е. \(\displaystyle{X=Y}\), \(\displaystyle{X\subset{Y}}\), \(\displaystyle{Y\subset{X}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{X=Y}\), \(\displaystyle{X\subset{Y}}\), \(\displaystyle{Y\subset{X}}\).
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №1 | Множества. Комбинаторика |
| Задача №7 | |
| Пункт №2 |