Задача №1873

Решение

Решим эту задачу с использованием таблиц принадлежности.

Как видим из таблицы, есть наборы значений \(\displaystyle{\left(\chi_{A}(x),\chi_{B}(x),\chi_{C}(x)\right)}\), на которых имеем \(\displaystyle{\chi_{X}(x)\neq\chi_{Y}(x)}\), т.е. \(\displaystyle{X\neq{Y}}\). При этом на всех наборах \(\displaystyle{\left(\chi_{A}(x),\chi_{B}(x),\chi_{C}(x)\right)}\) если \(\displaystyle{\chi_{Y}(x)=1}\), то \(\displaystyle{\chi_{X}(x)=1}\). Иными словами, если некий элемент \(\displaystyle{x\in{Y}}\), то этот же элемент \(\displaystyle{x\in{X}}\). Это означает, что \(\displaystyle{Y\subset{X}}\), причём \(\displaystyle{X\neq{Y}}\). Иными словами, \(\displaystyle{Y}\) – собственное подмножество множества \(\displaystyle{X}\).

Отмечу, что некоторые авторы выделяют собственные подмножества знаком \(\displaystyle{\subset}\). Запись \(\displaystyle{A\subset{B}}\) означает, что \(\displaystyle{A}\) – собственное (строгое, истинное) подмножество множества \(\displaystyle{B}\). Запись \(\displaystyle{A\subseteq{B}}\) в свою очередь означает, что множество \(\displaystyle{A}\) – произвольное подмножество множества \(\displaystyle{B}\). Кудрявцев не разделяет эти случаи в своём задачнике, используя обозначение \(\displaystyle{\subset}\) для любого типа подмножества.