Задача №1870
Условие
Доказать, что включение \(\displaystyle{A\backslash{B}\subset{C}}\) верно тогда и только тогда, когда \(\displaystyle{A\subset{B\cup{C}}}\).
Решение
Первый способ
Пусть \(\displaystyle{A\backslash{B}\subset{C}}\). Докажем, что \(\displaystyle{A\subset{B\cup{C}}}\). Предположим, что это не так, т.е. \(\displaystyle{A\not\subset{B\cup{C}}}\). Тогда существует элемент \(\displaystyle{x\in{A}}\) такой, что \(\displaystyle{x\notin{B\cup{C}}}\). Условие \(\displaystyle{x\notin{B\cup{C}}}\) означает, что \(\displaystyle{x\notin{B}}\) и \(\displaystyle{x\notin{C}}\). Из условий \(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\notin{B}}\) имеем \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\). Так как при этом \(\displaystyle{x\notin{C}}\), то \(\displaystyle{A\backslash{B}\not\subset{C}}\). Полученное противоречие говорит о том, что \(\displaystyle{A\subset{B\cup{C}}}\).
Пусть \(\displaystyle{A\subset{B\cup{C}}}\). Докажем, что \(\displaystyle{A\backslash{B}\subset{C}}\). Предположим, что это не так, т.е. \(\displaystyle{A\backslash{B}\not\subset{C}}\). Тогда существует элемент \(\displaystyle{x}\) такой, что \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\) такой, что \(\displaystyle{x\notin{C}}\). Из условия \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\) имеем \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Так как \(\displaystyle{x\notin{B}}\) и \(\displaystyle{x\notin{C}}\), то \(\displaystyle{x\notin{B\cup{C}}}\). Однако \(\displaystyle{x\in{A}}\), поэтому \(\displaystyle{A\not\subset{B\cup{C}}}\). Полученное противоречие говорит о том, что \(\displaystyle{A\backslash{B}\subset{C}}\).
Второй способ
Пусть \(\displaystyle{\chi_{A}}\), \(\displaystyle{\chi_{B}}\) и \(\displaystyle{\chi_{C}}\) – характеристические функции множеств \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) и \(\displaystyle{C}\) соответственно. Рассмотрим такие предикаты:
Покажем, что предикат \(\displaystyle{R={A_1}\leftrightarrow{A_2}}\) будет истинным на всех восьми наборах \(\displaystyle{\left(\chi_{A}(x);\;\chi_{B}(x);\;\chi_{C}(x)\right)}\).
| \(\displaystyle{\chi_{A}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{B}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{C}(x)}\) | \(\displaystyle{\chi_{A}(x)\wedge\neg\chi_{B}(x)}\) | \(\displaystyle{A_1}\) | \(\displaystyle{\chi_{B}(x)\vee\chi_{C}(x)}\) | \(\displaystyle{A_2}\) | \(\displaystyle{R}\) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Следовательно, предикат \(\displaystyle{R}\) является тождественно истинным. Это значит, что включение \(\displaystyle{A\backslash{B}\subset{C}}\) верно тогда и только тогда, когда \(\displaystyle{A\subset{B\cup{C}}}\).
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №1 | Множества. Комбинаторика |
| Задача №5 |